Réciproque du théorème de Thalès

Théorème

On considère les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\), \(\text{M}\) et \(\text{N}\) du plan.
 Si \(\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}\) et si les points \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{M}\) sont alignés dans le même ordre que les points \(\text{A}\), \(\text{C}\) et \(\text{N}\), alors les droites \(\text{(BC)}\) et \(\text{(MN)}\) sont parallèles.

Exemple

On souhaite déterminer si les droites \((\text{TU})\) et \((\text{MS})\) ci-dessous sont parallèles. On donne les informations suivantes :

• le point \(\text{R}\) appartient au segment \([\text{DT}]\) ;
• le point \(\text{C}\) appartient au segment \([\text{DN}]\) ;
• \(\text{RT} = 6\text{ cm},\text{RU} = 4,5\text{ cm}, \text{RM} = 8\text{ cm et RS}=6 \text{ cm}\).
  

On calcule séparément les quotients et on les compare :

• \(\dfrac{\text{RT}}{\text{RM}}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\)
  
• \(\dfrac{\text{RU}}{\text{RS}}=\dfrac{4{,}5}{6}=\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}\)
  

On constate que : \(\dfrac{\text{RT}}{\text{RM}}=\dfrac{\text{RU}}{\text{RS}}\)

De plus, les points \(\text{R}\), \(\text{T}\) et \(\text{M}\) sont alignés dans le même ordre que les points \(\text{R}\), \(\text{U}\) et \(\text{S}\).

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((\text{TU})\) et \((\text{MS})\) sont parallèles.